.120-Year-Old Math Mystery Finally Solved – Dudeney’s Dissection Proven Optimal!
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.120-Year-Old Math Mystery Finally Solved – Dudeney’s Dissection Proven Optimal!
120년 된 수학 미스터리가 마침내 해결되었습니다
듀드니의 해부가 최적임이 입증되었습니다! 일본 고등 과학기술 연구소2025년 3월 12일 추상 삼각형 그래프
수학자들은 헨리 듀드니가 1907년에 정삼각형을 정사각형으로 4조각으로 분해한 것이 최적임을 증명했습니다. JAIST와 MIT의 연구자들은 매칭 다이어그램을 사용하여 3조각 솔루션이 존재하지 않음을 보여 분해 문제에서 최적성을 공식적으로 증명한 최초의 사례가 되었습니다.
그들의 연구는 수학, 공학, 재료 과학에 응용됩니다. 연구자들은 새로운 접근법을 사용하여 듀드니의 유명한 해부 문제에 대한 원래 답이 실제로 최적이라는 것을 입증했습니다. 1907년, 영국의 작가이자 수학자인 헨리 어니스트 듀드니는 매혹적인 퍼즐을 던졌습니다. 정삼각형을 가능한 가장 적은 조각으로 잘라서 재배열하여 완벽한 정사각형을 만들 수 있을까요? 불과 4주 후, 그는 우아한 해결책을 공개하여 4개의 조각만 필요하다는 것을 보여주었습니다.
모양을 여러 조각으로 자르고 재배열하여 다른 모양을 만드는 이 방법을 해부라고 합니다. 해부의 핵심 과제는 한 다각형을 다른 다각형으로 변형하는 데 필요한 조각 수를 최소화하는 것입니다. 이 문제는 수세기 동안 수학자, 퍼즐 애호가, 문제 해결사를 사로잡았습니다.
듀드니의 퍼즐은 기하학적 해부의 가장 유명한 사례 중 하나로 남아 있습니다. 수학자들에게 어필하는 것 외에도 해부 문제는 섬유 디자인, 엔지니어링, 제조와 같은 분야에서 실용적인 응용 분야가 있습니다. 듀드니의 솔루션이 나온 지 120년이 넘은 지금도 한 가지 의문이 남습니다.
4개 미만의 조각으로 퍼즐을 풀 수 있을까요? 획기적인 수학적 증명 획기적인 연구에서 일본 첨단 과학 기술 연구소(JAIST)의 류헤이 우에하라 교수와 토난 카마타 조교수, 매사추세츠 공과대학의 에릭 D. 데메인 교수는 마침내 이 질문에 답했습니다. 그들은 듀드니의 원래 솔루션이 최적이라는 것을 증명했습니다. "1세기가 지난 후, 우리는 마침내 정삼각형과 정사각형이 3개 이하의 다각형 조각과 공통적으로 분해되지 않는다는 것을 증명함으로써 듀드니의 퍼즐을 풀었습니다." 우에하라 교수가 말했습니다. "우리는 매칭 다이어그램을 활용하는 새로운 증명 기술을 사용하여 이를 달성했습니다."
그들의 연구는 2024년 12월 5일에 오픈 액세스 리포지토리 arXiv 에 게시되었고 , 2025년 1월에 열린 제23회 LA/EATCS-일본 이론 컴퓨터 과학 워크숍에서 발표되었습니다. Dudeney의 해부 문제에 대한 원래 솔루션 Dudeney가 정삼각형을 해부하여 완벽한 정사각형으로 변환하기 위해 내놓은 원래 솔루션은 4개의 조각만 포함하며, 이 솔루션은 이제 최적의 솔루션으로 증명되었습니다. 출처: MIT의 Erik D. Demaine, JAIST의 Tonan Kamata와 Ryuhei Uehara 연구자들은 연구에서 핵심 정리를 증명했습니다.
조각을 뒤집는 것이 금지된 경우, 정삼각형과 조각이 세 개 이하인 정사각형 사이에는 해부가 없습니다. 듀드니의 원래 해결책도 뒤집는 것을 포함하지 않았습니다. 이를 확립하기 위해 연구자들은 먼저 문제의 기하학적 제약을 분석하여 두 조각 해부의 가능성을 배제했습니다. 다음으로, 그들은 체계적으로 3조각 해부의 가능성을 탐구했습니다. 해부의 기본적 속성을 사용하여, 그들은 3조각 해부를 위한 절단 방법의 실현 가능한 조합을 좁혔습니다.
마지막으로, 그들은 매칭 다이어그램의 개념을 사용하여 3조각 해부에 대한 이러한 조합 중 어느 것도 실현 가능하지 않다는 것을 엄격하게 증명했고, 따라서 정사각형과 정삼각형 사이의 해부는 3개 이하의 조각으로는 달성될 수 없다는 것을 증명했습니다. 매칭 다이어그램의 역할 매칭 다이어그램은 그들의 증명에서 중심적인 역할을 했습니다.
이 방법에서 해부에 사용된 잘린 조각 세트는 조각의 모서리와 정점 사이의 관계를 포착하는 그래프 구조로 축소되어 삼각형과 정사각형을 모두 형성합니다. 연구자들은 이 방법이 Dudeney의 퍼즐에만 적용되는 것이 아니라 다른 해부 문제에도 일반적으로 적용될 수 있다는 것을 발견했습니다. "모양을 자르고 재배열하는 문제는 인간이 동물 가죽을 가공하여 옷을 만들기 시작한 이래로 존재해 왔다고 합니다. 이러한 문제는 얇은 소재를 사용하는 모든 상황에서도 발생합니다." 우에하라 교수가 설명합니다. "저희의 증명은 해부 문제를 이해하고 해결하는 데 새로운 지평을 엽니다."
많은 해부 문제가 특정 개수의 조각으로 솔루션을 찾는 방식으로 해결되었지만, 가능한 가장 적은 조각을 사용하여 특정 솔루션이 최적이라는 것을 보여주는 공식적인 증명은 없었습니다. 이 연구에서 개발된 기술은 그러한 최적성을 증명한 최초의 기술입니다. "저희 기술은 실제 절단 및 재배열 문제에 대한 최적 해부가 가능하다는 것을 보여줍니다. 더욱 개선하면 해부 문제에 대한 완전히 새로운 솔루션을 발견할 수도 있습니다."라고 우에하라 교수는 결론지었습니다.
참조: Erik D. Demaine, Tonan Kamata 및 Ryuhei Uehara의 "Dudeney's Dissection is Optimal", 2024년 12월 5일, arXiv. DOI: 10.48550/arXiv.2412.03865 이 연구는 일본 과학 진흥 협회의 자금 지원을 받았습니다.
.Inside the Microscopic Tug-of-War That Builds a Beating Heart
뛰는 심장을 만드는 미세한 줄다리기 속으로
셀 프레스 에서2025년 3월 12일 배아 심장 심장(청록색)은 배아의 두 먼 영역(맨 왼쪽)에서 형성됩니다. 이 영역은 배아 중앙선으로 이동하여 튜브로 융합하여 첫 번째 심장 구조(맨 오른쪽)를 만듭니다. 이 세포들의 정확한 정렬과 쌍은 적절한 심장 발달에 필수적입니다. 출처: Thamarailingam
Athilingam 및 Kate McDole 발달 중인 심장의 세포들은 마치 현미경적 스피드 데이트 게임처럼 완벽한 짝을 찾아야 합니다. 필로포디아(작은 촉수와 같은 구조)를 사용하여 주변 환경을 탐색하고 잠재적 파트너에 달라붙습니다. 불일치하는 경우 단백질이 개입하여 분리하여 정확한 정렬을 보장합니다. 연구자들은 이 과정을 과일파리에서 모델링하여 세포 조직을 안내하는 접착 에너지와 탄력성의 섬세한 균형을 발견했습니다.
발달하는 심장 세포가 완벽한 조합을 찾는 방법 발달 중인 심장에서 세포는 움직이며 서로 부딪히고 서로 jostling하며 올바른 위치를 찾습니다. 위험 요소가 큽니다. 잘못된 세포와 짝을 이루면 제대로 뛰는 심장과 제대로 기능하지 않는 심장의 차이가 될 수 있습니다. 오늘(3월 12일) Biophysical Journal 에 발표된 연구에서 이 복잡한 "매치메이킹" 과정을 살펴봅니다. 연구자들은 심장 세포가 어떻게 움직이고 상호 작용하는지 추적하는 모델을 만들어 유전적 변이가 과일파리의 심장 발달을 어떻게 방해할 수 있는지 예측하는 데 도움을 주었습니다. 인간과 초파리 모두에서 심장 조직은 배아의 두 개의 별도 영역에서 형성되며, 처음에는 멀리 떨어져 있습니다. 발달이 진행됨에 따라 이러한 세포는 서로를 향해 이동하여 결국 관 모양의 구조로 합쳐져 심장이 됩니다.
이 과정이 작동하려면 세포가 정확하게 정렬되고 올바르게 짝을 이루어야 합니다. 올바른 파트너를 찾는 세포 춤 "세포들이 모이면 흔들리고 조절되고 어떻게든 항상 같은 유형의 심장 세포와 짝을 이루게 됩니다." 워릭 대학교 의 수석 저자인 티모시 손더스가 말했습니다 . 이 관찰은 팀이 세포가 처음에 어떻게 일치하는지, 그리고 언제 적절한 핏을 찾았는지 어떻게 아는지 탐구하도록 영감을 주었습니다. 발달하는 심장 세포는 필로포디아라는 얇고 촉수 같은 구조를 사용하여 주변을 탐험하고 잠재적 파트너에게 달라붙습니다. 손더스의 이전 연구에 따르면 단백질은 일치하지 않는 세포를 떼어놓는 파동을 생성하여 올바른 일치를 찾을 수 있는 또 다른 기회를 제공합니다. "기본적으로 세포는 스피드 데이트와 같습니다." 샌더스가 말합니다.
"그들은 그들이 잘 맞는지 판단할 시간이 몇 분밖에 없고, 분자 '친구'가 그들이 맞지 않으면 그들을 떼어놓을 준비가 되어 있습니다." 안정성의 과학: 세포가 제자리에 정착하는 방법 연구자들은 심장 세포가 정지 상태에 가장 가까운 곳에서 안정성을 추구한다는 것을 발견했습니다. 마치 굴러가는 공이 결국 멈추는 것처럼, 물리학에서는 에너지 평형이라고 합니다. 심장 세포를 개발할 때, 이 원리는 세포가 연결력과 변형에 적응하는 능력 사이의 균형을 찾을 때 적용됩니다. 접착 에너지와 탄성이라고도 합니다. 이 관찰을 바탕으로 연구팀은 세포가 어떻게 자체 조직화할 수 있는지 보여주는 모델을 개발했습니다.
다음으로, 팀은 돌연변이와 정렬 불량이 있는 초파리 심장에 모델을 테스트했습니다. 다양한 세포 유형 간의 접착 에너지를 계산하고 조직 탄력성을 평가함으로써, 이 모델은 세포가 어떻게 일치하고 재배열될지 예측했습니다. "드물지만, 가끔 심장 튜브가 두 개가 있어야 할 때 한쪽에 세포가 하나만 생기거나, 네 개가 있어야 할 때 두 개가 생기는 경우가 있습니다."라고 손더스는 말합니다. "우리는 이러한 불완전성을 모델에 입력하여 실행할 수 있었습니다." 이 모델은 실제 배아에서 관찰된 것과 매우 유사한 결과를 생성했습니다. 심장 너머: 이 연구가 중요한 이유 연구팀은 그들의 모델이 심장 발달 중에 세포가 어떻게 일치하고 정렬되는지에 대한 이해를 높일 뿐만 아니라 더 광범위한 응용 분야가 있다고 지적합니다.
유사한 세포 일치 과정은 신경 연결, 상처 치유 및 얼굴 발달에 필수적이며, 딸꾹질은 구순열과 같은 상태로 이어질 수 있습니다. Saunders는 "기본적으로 우리는 관찰한 내용을 설명하기 위해 생물학적 과정에 숫자를 부여하고 있습니다."라고 덧붙였습니다.
참고문헌: Saunders et al.의 “Interfacial energy constraints are enough to align cells over large distances”, 2025년 3월 12일, Biophysical Journal . DOI: 10.1016/j.bpj.2025.02.011 이 연구는 워릭 대학교, EMBO 글로벌 연구자, 싱가포르 교육부 학술 연구 기금, 싱가포르 국가 연구 재단 펠로우십, HFSP 청년 연구자 보조금, 영국 심장 재단 연구 보조금의 지원으로 진행되었습니다.
https://scitechdaily.com/inside-the-microscopic-tug-of-war-that-builds-a-beating-heart/
.Scientists Just Discovered a Shockingly Simple Formula for Quantum Entanglement
과학자들은 양자 얽힘에 대한 놀라울 정도로 간단한 공식을 발견했습니다
오사카 수도 대학2025년 3월 12일, 양자 얽힘 엔트로피 계산을 위한 새로운 공식 단순화된 공식은 나노스케일 재료의 국소 양자 얽힘을 분석하기 위해 개발되었습니다. 출처: 오사카 수도권 대학
일본의 물리학자들은 양자 얽힘을 측정하는 간소화된 공식을 개발해 나노 스케일 물질에서 놀라운 양자 상호 작용을 밝혀냈습니다. 이들의 연구는 강하게 상관된 전자 시스템과 양자 기술의 잠재적 응용 분야에 대한 새로운 통찰력을 제공합니다.
아인슈타인의 "스푸키 액션" 재조명 아인슈타인은 양자 얽힘을 "원격에서의 섬뜩한 작용"이라고 불렀지만, 새로운 연구에 따르면 이 이상한 현상을 이해하기가 더 쉬워졌습니다. 오사카 수도권 대학의 물리학자들은 강하게 상관된 전자계에서 양자 얽힘을 측정하는 단순화된 공식을 개발했습니다. 그들은 다양한 나노스케일 물질에서 이러한 공식을 테스트하여 양자 얽힘이 다른 물리적 환경에서 어떻게 작용하는지에 대한 새로운 통찰력을 발견했습니다. 그들의 발견은 양자 기술을 발전시키는 데 도움이 될 수 있습니다.
양자 얽힘이란 무엇인가 양자 얽힘은 두 입자가 아무리 멀리 떨어져 있어도 연결 상태를 유지하는 방식으로 연결될 때 발생합니다. 이 효과는 양자 컴퓨팅 및 양자 암호화와 같은 새로운 기술의 핵심입니다. 얽힘에 대한 이해가 크게 진전되었음에도 불구하고 많은 측면은 여전히 복잡하고 풀기 어렵습니다. 지역 양자 상호 작용에 초점을 맞추다 오사카 수도권 대학원 이학연구과 강사이자 이번 연구의 주저자인 유노리 니시카와는 "이전 연구는 주로 자성이나 초전도성을 나타내는 물질의 양자 얽힘의 보편적인 특성에 초점을 맞췄습니다."라고 말했습니다. 대신 연구팀은 지역적인 측면으로 접근했습니다. 그들은 강하게 상관된 전자계 내에서 임의로 선택된 하나 또는 두 개의 원자와 그 주변 환경(나머지 시스템) 사이의 양자 얽힘에 초점을 맞추었습니다. 강하게 상관된 전자 시스템과 그 복잡성 강하게 상관된 전자 시스템은 전자-전자 상호작용이 시스템의 행동을 지배하는 물질로, 풍부하고 복잡하며 종종 매우 얽힌 양자 상태로 이어진다. 이러한 시스템은 양자 얽힘을 탐구하기 위한 비옥한 토양 역할을 한다.
연구자들은 얽힘 엔트로피(시스템이 얼마나 얽혀 있는지 정량화), 상호 정보(시스템의 두 부분 간에 공유되는 정보를 측정), 상대 엔트로피(양자 상태 간의 차이를 측정)를 포함한 주요 양자 정보량을 계산하는 공식을 도출했습니다. 이러한 양은 양자 시스템의 다른 부분이 서로 어떻게 상호 작용하고 영향을 미치는지 이해하는 데 중요합니다. 단순화된 방정식에서의 놀라운 발견 니시카와는 "얽힘 엔트로피에 대한 공식 [1] 이 놀라울 정도로 간단한 표현으로 표현될 수 있다는 것을 발견했을 때 기쁜 놀라움이었습니다 ."라고 말했습니다. 접근 방식을 테스트하기 위해 팀은 선형 사슬로 배열된 나노스케일 인공 자성 재료와 희석된 자성 합금을 포함한 다양한 재료 시스템에 공식을 적용했습니다. 그들의 분석은 나노스케일 인공 자성 시스템에서 반직관적인 양자 얽힘 패턴을 보여주었습니다. 희석된 자성 합금에서 그들은 양자 상대 엔트로피를 콘도 효과를 포착하는 데 중요한 양으로 성공적으로 식별했습니다. 콘도 효과는 자기 불순물이 전도 전자에 의해 가려지는 현상입니다.
예상치 못한 양자 행동 발견 니시카와는 "나노스케일 인공 자성 재료의 양자 얽힘 동작은 우리의 초기 기대를 뛰어넘어 양자 상호 작용을 이해하는 새로운 길을 열었다"고 말했습니다. 이 연구는 양자 기술의 발전을 촉진할 수 있는 양자 얽힘에 대한 심층적인 탐구의 길을 열었습니다. 니시카와는 "우리의 공식은 다양한 다른 물리적 특성을 가진 시스템에도 적용될 수 있습니다."라고 말했습니다. "우리는 추가 연구에 영감을 주고 다양한 재료의 양자 행동에 대한 새로운 통찰력을 제공하기를 바랍니다." 노트 얽힘 엔트로피를 계산하는 공식은 다음과 같습니다. S =- n ↑ n ↓ 로그 n ↑ n ↓ – h ↑ h ↓ 로그 h ↑ h ↓ – n ↑ h ↑ 로그 n ↑ h ↑ – n ↓ h ↓ log n ↓ h ↓ 여기서 𝑛 ↑ , 𝑛 ↓ 는 업스핀 및 다운스핀 전자의 수 h ↓ 는 대상 원자 내의 업홀 및 다운 홀(연산자)의 수 입니다 .
참고문헌: Yunori Nishikawa와 Tomoki Yoshioka의 “강하게 상관된 양자 불순물 시스템의 순수 상태에서의 양자 얽힘”, 2025년 1월 7일, Physical Review B. DOI : 10.1103/PhysRevB.111.035112 해당 연구는 Physical Review B 에 게재되었습니다 .
A.메모 2503140342 소스1. 분석중_【】
_[2-3,3】oms는 보기1.처럼 4조각 이하는 없다. 다이어그램이 증명의 역할을 수행했다면 oms4도 증명을 암시한다.
보기1.
ABCD
DCBA
BADC
CDAB
4조각이하의 oms가 없다는 것은 mcell의 격자가 정삼각형이나 정사각형이 가능성을 나타낸다. 정삼각형으로 정다각형을 나타낼수 있다. qpeoms이 정삼각형 격자를 가진다면 정다각형 qpeoms도 존재하는거다. 어허.
또한 연구자들은 이 방법이 Dudeney의 퍼즐에만 적용되는 것이 아니라 다른 해부 문제에도 일반적으로 적용될 수 있다는 것을 발견했다. 보기1.처럼 생각했는지는 모를일이고...어허.
보기2.
sample 1.vix.a'6//vixx.a(b1,g3,k3,o5,n6)
b0acfd|0000e0
000ac0|f00bde
0c0fab|000e0d
e00d0c|0b0fa0
f000e0|b0dac0
d0f000|cae0b0
0b000f|0ead0c
0deb00|ac000f
ced0ba|00f000
a0b00e|0dc0f0
0ace00|df000b
0f00d0|e0bc0a
--------------------------------------------------------
B.메모 2503140111 소스1.분석중_【】
_[1,1-1】심장의 배아의 형성은 보기1. sms.oms.vix.ain 이다.완벽한 키랄 대칭이다.
보기1.
sample 1.vix.a'6//vixx.a(b1,g3,k3,o5,n6)
[A|~|B]
b0acfd|~ |0000e0
000ac0|~|f00bde
0c0fab|~ |000e0d
e00d0c|~|0b0fa0
f000e0|~ |b0dac0
d0f000|~ |cae0b0
0b000f|~ |0ead0c
0deb00|~|ac000f
ced0ba|~|00f000
a0b00e|~|0dc0f0
0ace00|~|df000b
0f00d0|~|e0bc0a
2.)
인간과 초파리 모두에서 심장 조직은 배아의 두 개의 별도 영역에서 형성되며, 처음에는 보기1.처럼 멀리[A|~|B]떨어져 있다. 발달이 진행됨에 따라 이러한 세포는 서로를 향해 이동하여 결국 관 모양의 구조로 합쳐져 심장이 된다. 이 과정이 작동하려면 세포가 정확하게 정렬되고 올바르게 짝(chiral), 손대칭 dbrain 매치메이킹을 이루어야 한다. 어허.
----------------------------------------
C.메모 2503131418 소스1.분석중_【】
얽힘의 단순화된 시각적 키랄 대칭공식은 omsful 표면 덮힘이나 내외 내용물의 동일분자 구체부피 조성의 최적화가 필요하기 때문이다. 어허.
_[2-1】 qpeoms의 양자얽힘은 직사각형 구조의 susqer.smolas(vixxer)와 rivery.vix에 놓인 두점 사이에 발생한다. 만약에 정삭각형에서 정삼각형으로 변한다면 정삼각형에서 정다각형으로 변환될 듀드니의 퍼즐은 기하학적 해부의 sms.oms.vix.ain.omsful 최적화 문제가 된다. 물론 간단한 방식 vix.ain.top에서 시작되어 무한 반복한다. 어허.
보기.(*new.spin.n↓x, n↑y)domain
sample 1.vix.a'6//vixx.a(b1,g3,k3,o5,n6)
b0acfd n↑0000e0 n↓*'(1yl)x
000ac0 n ↓f00bde n↑x
0c0fab n↓000e0d n↑y
e00d0c n↓0b0fa0 log n ↓x h ↓y
f000e0|b0dac0
d0f000|cae0b0
0b000f|0ead0c
0deb00|ac000f
ced0ba|00f000
a0b00e|0dc0f0
0ace00|df000b
0f00d0|e0bc0a
*'광년 ( light - year ) 은 천문학적 거리를 표현하는 데 사용되는 길이의 단위 로 정확히 다음과 같습니다. 9,460,730,472,580.8km , 즉 약 5조 8,800억 마일입니다
3-1.)간단 얽힘의 노트 표현은 얽힘 엔트로피를 계산하는 공식은 다음과 같다.
S =(- n ↑ n ↓ 로그 n ↑ n ↓) – (h ↑ h ↓ 로그 h ↑ h ↓ )– (n ↑ h ↑ 로그 n ↑ h ↑) – (n ↓ h ↓ log n ↓ h ↓) 여기서 𝑛 ↑ , 𝑛 ↓ 는 업스핀 및 다운스핀 전자의 수 h ↓ 는 대상 원자 내의 업홀 및 다운 홀(연산자)의 수 이다
얽힘 상태는 보통 물질계에서 , 2-2. )강하게 상관된 전자 시스템과 그 복잡성을 나타낸다. 전자-전자 상호작용이 시스템의 행동을 지배하는 물질로, 풍부하고 복잡하며 종종 매우 얽힌 양자 상태로 이어진다. 이러한 시스템은 양자 얽힘을 탐구하기 위한 비옥한 토양 역할을 한다.
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